设矩阵A=的特征值有一个二重根，求a的值，并讨论矩阵A是否可相似对角化。

admin2020-03-10 48

问题设矩阵A=

的特征值有一个二重根，求a的值，并讨论矩阵A是否可相似对角化。

选项

答案矩阵A的特征多项式为 |λE—A|=[*]=(λ一2)(λ²一8λ+18+3a)。如果λ=2是单根，则λ²一8λ+18+3a是完全平方式，必有18+3a=16，即a=一[*]。则矩阵A的特征值是2，4，4，而r(4E一A)=2，故λ=4只有一个线性无关的特征向量，从而A不能相似对角化。如果λ=2是二重特征值，则将λ=0代入λ²一8λ+18+3A=0可得a=一2。于是λ²一8λ+18+3a=(λ一2)(λ一6)。则矩阵A的特征值是2，2，6，而r(2E—A)=1，故λ=2有两个线性无关的特征向量，从而A可以相似对角化。

解析

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