设f(x)在[0，1]上连续，且∫01f(x)dx＝0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)＝2ξ∫0ξf(t)dt．

admin2021-10-08 49

问题设f(x)在[0，1]上连续，且∫₀¹f(x)dx＝0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)＝2ξ∫₀^ξf(t)dt．

选项

答案令[*](x)＝[*]∫₀^xf(t)dt，因为[*](0)＝[*](1)＝0，所以存在ξ∈(0，1)，使得[*](ξ)＝0，而[*](x)＝－2x[*]∫₀^xf(t)dt＋[*][f(x)－2x∫₀^xf(t)dt]且[*]≠0，所以f(ξ)－2ξ∫₀^ξf(t)dt＝0，即f(ξ)＝2ξ∫₀^ξf(t)dt．

解析

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考研数学二

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