设有二阶线性微分方程 (I)作自变量替换x=，把方程变换成y关于t的微分方程． (Ⅱ)求原方程的通解．

admin2017-11-13 50

问题设有二阶线性微分方程

(I)作自变量替换x=

，把方程变换成y关于t的微分方程．
(Ⅱ)求原方程的通解．

选项

答案(I)先求 [*] 再将①求导，得 [*] 将②，③代入原方程得 [*] (Ⅱ)题(I)已把原方程转化为④，故只需求解这个二阶线性常系数非齐次方程，它的相应特征方程λ²+2λ+1=0，有重根λ=一1．非齐次方程可设特解y*=Asint+Bcost，代入④得一(Asint+Bcost)+2(Acost—Bsint)+(Asint+Bcost)=2sint 即 Acost—Bsint=sint 比较系数得A=0，B=一1，即y*(t)=一cost．因此④的通解为 y=(c₁+c₂t)e^-t一cost 原方程的通解为 [*]

解析

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考研数学一

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