证明：方程xα=lnx(α＜0)在(0，+∞)上有且仅有一个实根．

admin2020-03-16 89

问题证明：方程x^α=lnx(α＜0)在(0，+∞)上有且仅有一个实根．

选项

答案令f(x)=lnx-x^α(α＞0)，则f(x)在(0，+∞)上4连续，f(1)=-1＜0，[*]故对任意M＞0，存在X＞1，当x＞X时，有f(x)＞M＞0．任取x₀＞X，则f(1)f(x₀)＜0，根据零点定理知，存在ξ∈(1，x⁰)，使得f(ξ)=0，即方程x^α=lnx在(0，+∞)上至少有一实根．又lnx在(0，+∞)上单调递增，因α＜0，一x^α也单调递增，从而f(x)在(0，+∞)上单调递增，因此方程f(x)=0在(0，+∞)上只有一个实根，即方程x^α=lnx在(0，+∞)上只有一个实根．

解析

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