设有n维向量组A：a1，a2，…，an，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n维向量都可由它们线性表示．

admin2021-02-25 90

问题设有n维向量组A：a₁，a₂，…，a_n，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n维向量都可由它们线性表示．

选项

答案充分性([*])：若任一n维向量都可由a₁，a₂，…，a_n线性表示，则n维单位坐标向量e₁，e₂，…，e_n能由a₁，a₂，…，a_n线性表示，则R(e₁，e₂，…，e_n)≤R(a₁，a₂，…，a_n)，而R(e₁，e₂，…，e_n)=n，R(a₁，a₂，…，a_n)≤n，所以R(a₁，a₂，…，a_n)=n，即向量组a₁，a₂，…，a_n线性无关．必要性([*])：任给一n维向量b，则n+1个向量a₁，a₂，…，a_n，b线性相关，而a₁，a₂，…，a_n线性无关，所以向量b可由向量a₁，a₂，…，a_n线性表示．

解析

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考研数学二

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设有n维向量组A：a1，a2，…，an，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n维向量都可由它们线性表示．

考研数学二

设矩阵，B=P—1AP，求B+2E的特征值与特征向量，其中A为A的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵。

设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关．(1)证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表不；(2)设α1=，α2=，β1=，β2=，求出可由两组向量同时线性表示的向量．

已知向量组(Ⅰ)能由向量组(Ⅱ)线性表出，且秩(Ⅰ)=秩(Ⅱ)，证明向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价．

设a1，a2，a3是四元非齐次方程组Ax=b的三个解向量，且秩r(A)=3，a1=(1，2，3，4)T，a2+a3=(0，1，2，3)T，c表示任意常数，则线性方程组Ax=b的通解x=()．

设3维向量组α1，α2线性无关，β1，β2线性无关．(Ⅰ)证明：存在非零3维向量ξ，ξ既可由α1，α2线性表出，也可由β1，β2线性表出；(Ⅱ)若α1=(1，－2，3)T，α2=(2，1，1)T，β1=(－2，1，4)T，β2=(－5，－3，5)T．求

设n元线性方程组Ax=b，其中(Ⅰ)证明行列式|A|=(n+1)an；(Ⅱ)当a为何值时，该方程组有唯一的解，并在此时求x1；(Ⅲ)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并在此时求其通解．

设三阶矩阵A的特征值为λ1=-1，λ2=，其对应的特征向量为α1，α2，α3，令P=(2α3，-3α1，-α2)，则P-1(A-1+2E)P=________

设3阶矩阵A的特征值为2，3，λ．如果｜2A｜=-48，则λ=______．

若3阶非零方阵B的每一列都是方程组的解，则λ=，|B|=．

设A，B均为n阶方阵，|A|=2,|B|=一3，则|A-1B一AB-1|=_______．

中华民族自古以来，遵循“_______”的原则。

主视图确定了物体上、下、左、右四个不同部位，反映了物体的________。

通过下述哪项可估价左心室后负荷

A．唇内、鼻中、通关B．顺气、脾俞、食胀C．通窍、肺俞、苏气D．关元俞、带脉、后海E．尾尖、耳尖、山根治疗牛肚胀、腹痛宜选

依据委托监理合同示范文本规定，委托人的义务包括(　　)。

下列不属于市政给水管网作为消防水源条件的是()。

从风险的角度分析，证券市场也是风险的直接交换场所。()

下列不属于驻外人员薪酬的主要组成部分的是()。

基音：

设有n维向量组A：a1，a2，…，an，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n维向量都可由它们线性表示．

考研数学二

设矩阵，B=P—1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵。

设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关．(1)证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表不；(2)设α1=，α2=，β1=，β2=，求出可由两组向量同时线性表示的向量．

已知向量组(Ⅰ)能由向量组(Ⅱ)线性表出，且秩(Ⅰ)=秩(Ⅱ)，证明向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价．

设a1，a2，a3是四元非齐次方程组Ax=b的三个解向量，且秩r(A)=3，a1=(1，2，3，4)T，a2+a3=(0，1，2，3)T，c表示任意常数，则线性方程组Ax=b的通解x=()．

设3维向量组α1，α2线性无关，β1，β2线性无关．(Ⅰ)证明：存在非零3维向量ξ，ξ既可由α1，α2线性表出，也可由β1，β2线性表出；(Ⅱ)若α1=(1，－2，3)T，α2=(2，1，1)T，β1=(－2，1，4)T，β2=(－5，－3，5)T．求

设n元线性方程组Ax=b，其中(Ⅰ)证明行列式|A|=(n+1)an；(Ⅱ)当a为何值时，该方程组有唯一的解，并在此时求x1；(Ⅲ)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并在此时求其通解．

设三阶矩阵A的特征值为λ1=-1，λ2=，其对应的特征向量为α1，α2，α3，令P=(2α3，-3α1，-α2)，则P-1(A-1+2E)P=________

设3阶矩阵A的特征值为2，3，λ．如果｜2A｜=-48，则λ=______．

若3阶非零方阵B的每一列都是方程组的解，则λ=________，|B|=________．

设A，B均为n阶方阵，|A|=2,|B|=一3，则|A-1B*一A*B-1|=_______．

中华民族自古以来，遵循“_______”的原则。

主视图确定了物体上、下、左、右四个不同部位，反映了物体的________。

通过下述哪项可估价左心室后负荷

A．唇内、鼻中、通关B．顺气、脾俞、食胀C．通窍、肺俞、苏气D．关元俞、带脉、后海E．尾尖、耳尖、山根治疗牛肚胀、腹痛宜选

依据委托监理合同示范文本规定，委托人的义务包括( )。

下列不属于市政给水管网作为消防水源条件的是()。

从风险的角度分析，证券市场也是风险的直接交换场所。()

下列不属于驻外人员薪酬的主要组成部分的是()。

基音：

设矩阵，B=P—1AP，求B+2E的特征值与特征向量，其中A为A的伴随矩阵，E为三阶单位矩阵。

若3阶非零方阵B的每一列都是方程组的解，则λ=，|B|=．

设A，B均为n阶方阵，|A|=2,|B|=一3，则|A-1B一AB-1|=_______．

依据委托监理合同示范文本规定，委托人的义务包括(　　)。