设有n维向量组A：a1，a2，…，an，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n维向量都可由它们线性表示．

admin2021-02-25 106

问题设有n维向量组A：a₁，a₂，…，a_n，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n维向量都可由它们线性表示．

选项

答案充分性([*])：若任一n维向量都可由a₁，a₂，…，a_n线性表示，则n维单位坐标向量e₁，e₂，…，e_n能由a₁，a₂，…，a_n线性表示，则R(e₁，e₂，…，e_n)≤R(a₁，a₂，…，a_n)，而R(e₁，e₂，…，e_n)=n，R(a₁，a₂，…，a_n)≤n，所以R(a₁，a₂，…，a_n)=n，即向量组a₁，a₂，…，a_n线性无关．必要性([*])：任给一n维向量b，则n+1个向量a₁，a₂，…，a_n，b线性相关，而a₁，a₂，…，a_n线性无关，所以向量b可由向量a₁，a₂，…，a_n线性表示．

解析

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考研数学二

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设有n维向量组A：a1，a2，…，an，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n维向量都可由它们线性表示．

考研数学二

设向量组α1，α2，…，αs为齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，Aβ≠0．证明：齐次线性方程组BY=0只有零解，其中B=(β，β+α1，…，β+αs)．

设A为n阶可逆矩阵，A为A的伴随矩阵，证明：(A)T=(AT)*。

设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关．(1)证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表不；(2)设α1=，α2=，β1=，β2=，求出可由两组向量同时线性表示的向量．

设A，B为三阶矩阵且A不可逆，又AB＋2B＝O且r(B)＝2，则｜A＋4E｜＝()．

设f(x)在区间[0，1]上可微，且满足条件，试证：存在ξ∈(0，1)，使f(ξ)+ξf’(ξ)=0．

依题意，如右图所示，D为右半单位圆，且关于x轴[*]

设3阶矩阵A=(α1，α2．α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2．若β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解．

确定常数a，使向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(a，1，1)T可由向量组β1=(1，1，a)T，β2=(一2，a，4)T，β3=(一2，a，a)T线性表示，但向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示．

(13)设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记(Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT．(Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22.

设三阶方阵A，B满足关系式A-1BA=6A+BA，且则B=__________。

A、CEAB、HCGC、AFPD、VCA-IgAE、AKP以下肿瘤中可能会出现升高的标志物是：结肠癌

中国法制近代化经历了曲折的渐进过程，贯穿着西方法律精神与中国法律传统的交汇与碰撞。关于中国法制近代化在修律中的特点，下列哪一选项是不正确的?(201／1/14题)

下列不属于工程质量控制设计内容的是()。

下列费用中不属于静态投资部分的是(　　)。

投资基金起源于(　　)。

下列各项中，制造企业应确认为无形资产的是()。

检定具有()，其对象是法制管理范围内的测量仪器。

(2016·河南)布鲁纳的认知结构学习理论认为，学习包括获得、转化和评价三个过程。()

设变量x的值是845，则下面语句的输出是Printx\100+(xMod100)\10+xMod10

设有n维向量组A：a1，a2，…，an，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n维向量都可由它们线性表示．

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设向量组α1，α2，…，αs为齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，Aβ≠0．证明：齐次线性方程组BY=0只有零解，其中B=(β，β+α1，…，β+αs)．

设A为n阶可逆矩阵，A*为A的伴随矩阵，证明：(A*)T=(AT)*。

设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关．(1)证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表不；(2)设α1=，α2=，β1=，β2=，求出可由两组向量同时线性表示的向量．

设A，B为三阶矩阵且A不可逆，又AB＋2B＝O且r(B)＝2，则｜A＋4E｜＝()．

设f(x)在区间[0，1]上可微，且满足条件，试证：存在ξ∈(0，1)，使f(ξ)+ξf’(ξ)=0．

依题意，如右图所示，D为右半单位圆，且关于x轴[*]

设3阶矩阵A=(α1，α2．α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2．若β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解．

确定常数a，使向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(a，1，1)T可由向量组β1=(1，1，a)T，β2=(一2，a，4)T，β3=(一2，a，a)T线性表示，但向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示．

(13)设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记(Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT．(Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22.

设三阶方阵A，B满足关系式A-1BA=6A+BA，且则B=__________。

A、CEAB、HCGC、AFPD、VCA-IgAE、AKP以下肿瘤中可能会出现升高的标志物是：结肠癌

中国法制近代化经历了曲折的渐进过程，贯穿着西方法律精神与中国法律传统的交汇与碰撞。关于中国法制近代化在修律中的特点，下列哪一选项是不正确的?(201／1/14题)

下列不属于工程质量控制设计内容的是()。

下列费用中不属于静态投资部分的是( )。

投资基金起源于( )。

下列各项中，制造企业应确认为无形资产的是()。

检定具有()，其对象是法制管理范围内的测量仪器。

(2016·河南)布鲁纳的认知结构学习理论认为，学习包括获得、转化和评价三个过程。()

设变量x的值是845，则下面语句的输出是Printx\100+(xMod100)\10+xMod10

设A为n阶可逆矩阵，A为A的伴随矩阵，证明：(A)T=(AT)*。

下列费用中不属于静态投资部分的是(　　)。

投资基金起源于(　　)。