设函数f(x)在[0,+∞)上可导，f(0)=0,其反函数为g(x),若∫0f(x)g(t)dt=x2ex,求f(x).

admin2022-10-13 66

问题设函数f(x)在[0,+∞)上可导，f(0)=0,其反函数为g(x),若∫₀^f(x)g(t)dt=x²e^x,求f(x).

选项

答案等式两边对x求导可得g[f(x)]f’(x)=2xe^x+x²e^x,而g[f(x)]=x，故 xf’(x)=2xe^x+x²e^x 当x≠0时，f’(x)=2e^x+xe^x,积分得 f(x)=(x+1)e^x+C 由于f(x)在x=0处连续，故由 [*] 得C=－1,因此f(x)=(x+1)e^x－1.

解析

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考研数学三

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[*]
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设函数f(x)满足xf’(x)－2f(x)＝－x，且由曲线y＝f(x)，x＝1及x轴(x≥0)所围成的平面图形为D．若D绕x轴旋转一周所得旋转体体积最小，求：曲线在原点处的切线与曲线及直线x＝1所围成的平面图形的面积．
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