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从抛物线y＝x2－1上的任意一点M(t，t2－1)引抛物线y＝x2的两条切线。 (Ⅰ)求这两条切线的切线方程； (Ⅱ)证明这两条切线与抛物线y＝x2所围图形的面积为常数。
从抛物线y＝x2－1上的任意一点M(t，t2－1)引抛物线y＝x2的两条切线。 (Ⅰ)求这两条切线的切线方程； (Ⅱ)证明这两条切线与抛物线y＝x2所围图形的面积为常数。
admin
2019-12-06
79
问题
从抛物线y＝x
2
－1上的任意一点M(t，t
2
－1)引抛物线y＝x
2
的两条切线。
(Ⅰ)求这两条切线的切线方程；
(Ⅱ)证明这两条切线与抛物线y＝x
2
所围图形的面积为常数。
选项
答案
(Ⅰ)抛物线y＝x
2
在点(a，a
2
)处的切线方程为y＝2ax－a
2
，该切线过M点，则t
2
－1＝2at－a
2
，解得a的两个解为a
1
＝t－1，a
2
＝t＋1。从而求得抛物线y＝x
2
－1上任意一点M(t，t
2
－1)引抛物线y＝x
2
的两条切线为L
1
：y＝2a
1
x－a
1
2
，L
2
：y＝2a
2
x－a
2
2
。 (Ⅱ)两条切线与抛物线y＝x
2
所围面积为 s(t)＝∫
a
1
t
[x
2
－(2a
1
x－a
1
2
)]dx＋∫
t
a
2
[x
2
－(2a
2
x－a
2
2
)]dx， 则S’(t)＝(t－a
1
)
2
－(t－a
2
)
2
＝(t－t＋1)
2
－(t－t－1)
2
＝0，故S(t)为常数。
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/WTA4777K
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考研数学二
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