2. 考研
  3. (1)设f(x)是以T为周期的连续函数，试证明：∫0xf(t)dt可以表示为一个以T为周期的函数ψ(x)与kx之和，并求出此常数k； (2)求(1)中的 (3)以[x]表示不超过x的最大整数，g(x)=x一[x]，求

(1)设f(x)是以T为周期的连续函数，试证明：∫0xf(t)dt可以表示为一个以T为周期的函数ψ(x)与kx之和，并求出此常数k； (2)求(1)中的 (3)以[x]表示不超过x的最大整数，g(x)=x一[x]，求

admin2019-06-28  81
问题 (1)设f(x)是以T为周期的连续函数，试证明：∫0xf(t)dt可以表示为一个以T为周期的函数ψ(x)与kx之和，并求出此常数k；
(2)求(1)中的
(3)以[x]表示不超过x的最大整数，g(x)=x一[x]，求
选项
答案(1)证明能取到常数k使∫0xf(t)dt一kx为周期T即可．(1)得到的表达式去求[*] 即可得(2)．但请读者注意，一般不能用洛必达法则求此极限，除非f(x)恒为常数．对于 (3)，由于g(x)不连续，如果要借用(1)的结论，需要更深一层的结论(见下面的[注])．由于g(x)可以具体写出它的分段表达式，故可直接积分再用夹逼定理即得． (1)令φ(x)=∫0xf(t)dt—kx，考察 ψ(x+T)一ψ(x)=∫0x+Tf(t)dt一k(x+T)一∫0xf(t)dt+kx =∫0Tf(t)dt+∫Tx+Tf(t)dt—∫0xf(t)dt—kT． 对于其中的第二个积分，作积分变量代换，命t=u+T，有 ∫Tx+Tf(t)dt=∫0xf(u+T)du=∫0xf(u)du， ① 于是 ψ(x+T)-ψ(x)=∫0Tf(t)dt一kT 可见，ψ(x)为T周期函数的充要条件是[*] 即证明了∫0xf(t)dt可以表示成 [*] 其中ψ(x)为某一周期T的函数． (2)由(1)，[*] 因ψ(x)为连续的周期函数，故ψ(x)在(一∞，+∞)上有界，从而 [*] (3)设n≤x＜n+1， [*] 由n≤x＜n+1，有 [*] 由夹逼定理知 [*]
解析
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考研数学二

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