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  3. 设随机变量X，Y相互独立，其概率密度分别为 试求2X+Y的概率密度．

设随机变量X，Y相互独立，其概率密度分别为 试求2X+Y的概率密度．

admin2020-05-02  42
问题 设随机变量X，Y相互独立，其概率密度分别为

试求2X+Y的概率密度．
选项
答案方法一 分布函数法． 由已知条件X，Y的联合概率密度为 [*] 因此，所求概率密度为 [*] 方法二 公式法． 令W=2X，那么W的分布函数为 [*] 从而W的概率密度为 [*] 因为X，Y相互独立，所以W与Y也相互独立，从而Z=2X+Y=W+Y的概率密度可用卷积公式计算，即 [*] 综上所述，有 [*] 方法三 变量代换法． 由已知条件可知，(X，Y)的概率密度为[*]，令Z=2X+Y，T=2X-Y，则[*]，且 [*] 当0≤x≤1，y＞0时，有0≤z+t≤4，z-t＞0，且(Z，T)的概率密度为 [*] 方法四 积分转化法． 因为 [*]
解析 关于二维随机变量函数的概率分布的计算．方法一：首先写出X，Y的联合概率密度，而后利用分布函数法求Z=2X+Y的分布函数FZ(z)，则分布函数FZ(z)的导数即为所求的概率密度；方法二：先求W=2X的概率密度，再利用两个独立随机变量和的卷积公式直接计算2X+Y的概率密度；方法三：变量代换法；方法四：积分转化法．
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考研数学一

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