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  3. 利用代换将方程y"cosx－2y’sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解。

利用代换将方程y"cosx－2y’sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解。

admin2019-01-26  53
问题 利用代换将方程y"cosx－2y’sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解。
选项
答案方法一：由[*]得 y’=u’sec x+usec xtanx． y"=u"sec x+2u’sec xtan c+usec xtan2x+usec3x， 代入原方程y"cosx－2y’sin x+3ycosx=ex，得 u"+4u=ex。 (1) 先求其对应的齐次线性微分方程的通解。由于其特征方程为λ2+4=0，则特征方程的根为λ=+2i。所以通解为[*]=C1cos 2x+C2sin 2x，其中C1，C2为任意常数。 再求非齐次线性微分方程的特解。设其特解为u*(x)=Aex，代入(1)式，得 (Aex)"+4(Aex)=Aex+4Aex=ex， 则[*]因此[*]所以(1)式的通解为 [*] 其中C1，C2为任意常数。 因此，原方程的通解为 [*] 方法二：由[*]得u=ycosx，于是 u’=y’cos x－ysin x， u"=y"cos x－2y’sin x－ycos x， 于是原方程y"cos x－2y’sin x+3ycos x=ex化为u"+4u=ex(以下求解过程同方法一)。
解析
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考研数学二

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