(Ⅰ)设A，B为n阶可相似对角化矩阵，且有相同特征值，证明：矩阵A，B相似。 (Ⅱ)设，求可逆矩阵P，使得P-1AP=B。

admin2021-01-31 129

问题 (Ⅰ)设A，B为n阶可相似对角化矩阵，且有相同特征值，证明：矩阵A，B相似。
(Ⅱ)设

，求可逆矩阵P，使得P^-1AP=B。

选项

答案(Ⅰ)设A，B的特征值为λ₁，λ₂，…，λ_n，因为A，B可相似对角化，所以存在可逆矩阵P₁，P₂，使得 [*] 于是P₁^-1AP₁=P₂^-1BP₂，或(P₁P₂^-1)^-1A(P₁P₂^-1)=B，令P=P₁P₂^-1，则P^-1AP=B，即矩阵A，B相似。 (Ⅱ)(Ⅱ)由｜λE-A｜=[*]=(λ+1)(λ-1)²=0得λ₁=-1，λ₂=λ₃=1；由｜λE-B｜=[*]=(λ+1)(λ-1)²=0得λ₁=-1，λ₂=λ₃=1； [*] A的属于特征值λ₂=λ₃=1的线性无关的特征向量为[*]， [*]

解析

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考研数学三

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