2. 考研
  3. 设f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)=0．证明：至少存在一点ξ∈(0，1)，使(1+ξ2)(aretan ξ)f’(ξ)=一1．

设f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)=0．证明：至少存在一点ξ∈(0，1)，使(1+ξ2)(aretan ξ)f’(ξ)=一1．

admin2019-04-22  57
问题 设f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)=0．证明：至少存在一点ξ∈(0，1)，使(1+ξ2)(aretan ξ)f’(ξ)=一1．
选项
答案令F(x)=ef(x)arctanx，x∈[0，1]，则[*] 由定积分中值定理，存在[*]，即F(x0)=F(1)． 显然F(x)在[x0，1]上满足罗尔定理条件，故至少存在一点ξ∈(x0，1)[*](0，1)，使F’(ξ)=0， 即 (1+ξ2)(arctan ξ)f’(ξ)=一1．
解析
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考研数学二

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