设f(χ)在[－a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，存在． (1)写出f(χ)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式。 (2)证明：存在ξ1，ξ2∈[－a，a]，使得

admin2017-09-15 77

问题设f(χ)在[－a，a](a＞0)上有四阶连续的导数，

存在．
(1)写出f(χ)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式。
(2)证明：存在ξ₁，ξ₂∈[－a，a]，使得

选项

答案(1)由[*]存在，得f(0)＝0，f′(0)＝0，f〞(0)＝0，则f(χ)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式为f(χ)＝[*]其中ξ介于0与χ之间． (2)上式两边积分得 [*] 因为f⁽⁴⁾(χ)在[－a，a]上为连续函数，所以f⁽⁴⁾(χ)在[－a，a]上取到最大值M和最小值m，于是有mχ⁴≤f⁽⁴⁾(ξ)χ⁴≤Mχ⁴，两边在[－a，a]上积分得 [*] 根据介值定理，存在ξ₁∈[－a，a]，使得f⁽⁴⁾(ξ₁)＝[*]f(χ)dχ，或a⁵f⁽⁴⁾(ξ₁)＝60∫_-a^af(χ)dχ．再由积分中值定理，存在ξ₂∈[－a，a]，使得 a⁵f⁽⁴⁾(ξ₁)＝60∫_-a^af(χ)dχ＝120af(ξ₂)，即a⁴f⁽⁴⁾(ξ₁)＝120f(ξ₂)．

解析

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考研数学二

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