[2002年] 设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量a是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P-1AP)T属于特征值λ的特征向量是( )．

admin2019-05-10 92

问题 [2002年] 设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知n维列向量a是A的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P^-1AP)^T属于特征值λ的特征向量是( )．

选项 A、P^-1α
B、P^Tα
C、Pα
D、(P^-1)^Tα

答案B

解析可用命题2．5．1．11(8)，也可利用特征值、特征向量的定义求解．
由题设有Aα=λα，且A^T=A．令B=(P^-1AP)^T，则 B=(P^-1AP)^T=P^TA^T(P^-1)^T=P^TA(P^T)^-1， A=(P^T)^-1BP^Tα
故 Aα=(P^T)^-1BP^Tα，即 (P^T)^-1B(P^Tα)=λα．
在上式两边左乘PT得到B(P^Tα)=λP^Tα．如能证P^Tα≠0，则P^Tα为B的属于λ的特征向量．
事实上，如P^Tα=0，则由P为可逆矩阵知，P^T也为可逆矩阵，于是有(P^T)^-1P^Tα=(P^T)^-10=0，即α=0．这与a≠0矛盾．故P^Tα为矩阵B=(P^-1AP)^T的属于特征值λ的特征向量．仅(B)入选．

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考研数学二

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