设有两个非零矩阵A=[a1，a2，…，an]T，B=[b1，b2，…，bn]T．设C=E一ABT，其中E为n阶单位矩阵．证明：CTC=E一BAT—ABT+BBT的充要条件是ATA=1．

admin2019-03-21 47

问题设有两个非零矩阵A=[a₁，a₂，…，a_n]^T，B=[b₁，b₂，…，b_n]^T．
设C=E一AB^T，其中E为n阶单位矩阵．证明：C^TC=E一BA^T—AB^T+BB^T的充要条件是A^TA=1．

选项

答案由于C^TC=(E一AB^T)^T(E—AB^T)=(E一BA^T)(E—AB^T)=E一BA^T-AB^T+BA^TAB^T，故若要求C^TC=E-BA^T-AB^T+BB^T，则BA^TAB^T-BB^T=O，B(A^TA一1)B^T=O，即 (A^TA一1)BB^T=O．因为B≠O，所以BB^T≠0．故C^TC=E一BA^T-AB^T+BB^T的充要条件是A^TA=1．

解析

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考研数学二

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