2. 考研
  3. 设函数y=y(x)在(-∞，+∞)内具有二阶导数，且y’(x)≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数。 (Ⅰ)试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程； (Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，的解。

设函数y=y(x)在(-∞，+∞)内具有二阶导数，且y’(x)≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数。 (Ⅰ)试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程； (Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，的解。

admin2019-01-15  102
问题 设函数y=y(x)在(-∞，+∞)内具有二阶导数，且y’(x)≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数。
(Ⅰ)试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程；
(Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，的解。
选项
答案(Ⅰ)由反函数求导法则，[*]，则 [*] 将以上两式代入所给微分方程得y’’-y=sinx。 (Ⅱ)由(Ⅰ)中结果，则对应齐次方程的特征方程为λ2-1=0，特征根为λ=±1。 由于i不是特征方程的根，故设非齐次待定特解为y*=Acosx+Bsinx，并将y*，(y*)’及(y*)’’代入y’’-y=sinx，得A=0，[*]。 则非齐次方程通解为[*]。 又由y(0)=0，[*]可得，C1，C2=-1。 故所求特解为[*]
解析
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考研数学三

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