设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)nxm中元素aij(i，j=1，2，…，n)的代数余子式，二次型f(x1，x2…，xn)= (I)记X=(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式，并证明二次型f(x)

admin2013-08-30 73

问题设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，A_ij是A=(a_ij)_nxm中元素a_ij(i，j=1，2，…，n)的代数余子式，二次型f(x₁，x₂…，x_n)=

(I)记X=(x₁，x₂，…，x_n)^T，把f(x₁，x₂，…，x_n)写成矩阵形式，并证明二次型f(x)的矩阵为A^-1；
(Ⅱ)二次型g(x)=X^TAX与f(x)的规范形是否相同?说明理由．

选项

答案(Ⅰ)由题设， [*] 已知A为n阶实对称矩阵，从而上式两边可转置， [*] 已知r(A)=n，从而｜A｜≠0，A可逆，且A^-1=[*] 则由(1)式知f(x₁，x₂，…，x_n)=x^TA^-1X且(A^-1)^T=(A^T)^-1=A^-1，故f(x₁，x₂，…，x_n)=x^TA^-1X是f(X)的矩阵表示，且相应矩阵为A^-1，证毕． (Ⅱ)由于(A^-1)^TAA^-1=(A^T)^-1层=A^-1，则A^-1与A合同，于是g(X)与X^TAX与f(X)有相同规范形，得证．

解析

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考研数学一

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设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)nxm中元素aij(i，j=1，2，…，n)的代数余子式，二次型f(x1，x2…，xn)= (I)记X=(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式，并证明二次型f(x)

考研数学一

(2008年)求函数u＝χ2＋y2＋z2在约束条件z＝χ2＋y2和χ＋y＋z＝4下的最大值小值。

设函数y＝y(x)由方程ln(x2＋y)＝x3y＋sinT确定，则＝_______。

已知A是3阶实对称矩阵，α1=(1，-1，-1)T，α2=(-2，1，0)T是齐次线性方程组Ax=0的解，又(A-6E)α=0，α≠0．求α和二次型xTAx的表达式；

计算，其中Ω：由yOz平面上的区域D绕z轴旋转而成的空间区域，而D由曲线z=2y-1，y2+z2=1(y≥0，z≥0)，y=0，z=0所围成．

计算下列反常积分：

设正项数列{an}收敛于0，且bn＝，n＝1，2，…，则＝________．

两个相互外切的圆同时内切于半径为R的圆M．连接三圆心的直线垂直于圆M外的直线EF，且圆心M到EF的距离为2R．求两个小圆的半径，使得这3个圆所围成的平面图形绕EF旋转时所得旋转体体积最大．

设f(x，y)与G(x，y)均为可微函数，且G’y(x，y)≠0．已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件G(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是()．

设X1，X2，X3，X4是来自正态总体N(0，22)的简单随机样本，X=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2，则当a=，b=时，统计量X服从X2分布，其自由度为___．

下列哪项可引起金属音调咳嗽

黄曲霉毒素除由黄曲霉产生外，还可由什么真菌产生

患儿，男，7岁。昨起发热37．5～38℃，今起出皮疹，主要为红色斑丘疹，分布在头面部和躯干，部分皮疹已形成疱疹。该患儿应隔离到

下列关于大额可转让定期存单的说法错误的是()。

下列关于制宪权的表述，正确的是()(2012年非法学综合课单选第18题)

在线性结构中，队列的操作顺序是先进先出，而栈的操作顺序是【】。

以下程序的输出结果是charcchar(charch){if(ch＞=’A’&&ch＜=’Z’)ch=ch-’A’+’a’;returnch;}main(){cha

在窗体上画一个名称为run1的命令按钮和一个名称为num1的文本框并接受输入值，然后编写如下事件过程：PrivateSubrun1_Cliek()IfMe!num1＞=60Thenresult="及格"Els

Decidewhichofthechoicesgivenbelowwouldbestcompletethepassageifinsertedinthecorrespondingblanks.Formanype

()制造厂商()试销订单()单价()总值

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计算，其中Ω：由yOz平面上的区域D绕z轴旋转而成的空间区域，而D由曲线z=2y-1，y2+z2=1(y≥0，z≥0)，y=0，z=0所围成．

计算下列反常积分：

设正项数列{an}收敛于0，且bn＝，n＝1，2，…，则＝________．

两个相互外切的圆同时内切于半径为R的圆M．连接三圆心的直线垂直于圆M外的直线EF，且圆心M到EF的距离为2R．求两个小圆的半径，使得这3个圆所围成的平面图形绕EF旋转时所得旋转体体积最大．

设f(x，y)与G(x，y)均为可微函数，且G’y(x，y)≠0．已知(x0，y0)是f(x，y)在约束条件G(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是()．

设X1，X2，X3，X4是来自正态总体N(0，22)的简单随机样本，X=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2，则当a=__________，b=____________时，统计量X服从X2分布，其自由度为_____________．

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以下程序的输出结果是charcchar(charch){if(ch＞=’A’&&ch＜=’Z’)ch=ch-’A’+’a’;returnch;}main(){cha

在窗体上画一个名称为run1的命令按钮和一个名称为num1的文本框并接受输入值，然后编写如下事件过程：PrivateSubrun1_Cliek()IfMe!num1＞=60Thenresult="及格"Els

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