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  3. 设A是m×n阶矩阵，且非齐次线性方程组AX＝b满足r(A)＝r()＝r＜n．证明：方程组AX＝b的线性无关的解向量的个数最多是n－r＋1个．

设A是m×n阶矩阵，且非齐次线性方程组AX＝b满足r(A)＝r()＝r＜n．证明：方程组AX＝b的线性无关的解向量的个数最多是n－r＋1个．

admin2019-08-12  102
问题 设A是m×n阶矩阵，且非齐次线性方程组AX＝b满足r(A)＝r()＝r＜n．证明：方程组AX＝b的线性无关的解向量的个数最多是n－r＋1个．
选项
答案因为r(A)＝r＜n，所以齐次线性方程组AX＝0的基础解系含有n－r个线性无关的解向量，设为ξ1，ξ2，…，ξn-r． 设η0为方程组AX＝b的一个特解， 令β0＝η0，β1＝ξ1＋η0，β2＝ξ2＋η0，…，βn-r＝ξn-r＋η0，显然β0，β1，β2，…，βn-r，为方程组AX＝b的一组解． 令k0β0＋k1β1＋…＋kn-rβn-r＝0，即 (k0＋k1…＋kn-r)η0＋k1ξ1＋k2ξ2＋…＋kn-rξn-r＝0， 上式两边左乘A得(k0＋k1＋…＋kn-r)b＝0， 因为b为非零列向量，所以k0＋k1＋…＋kn-r＝0，于是 k1ξ1＋k2ξ2＋…＋kn-rξn-r＝0， 注意到ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关，所以k1＝k2＝…＝kn-r＝0， 故β0，β1，β2，…，βn-r线性无关，即方程组AX＝b存在由n－r＋1个线性无关的解向量构成的向量组．设β1，β2，…，βn-r+2为方程组AX＝b的一组线性无关解， 令γ1＝β2－β1，γ2＝β3－β1，…，γn-r+1＝βn-r＋2－β1，根据定义，易证γ1，γ2，…，γn-r+1线性无关，又γ1，γ2，…，γn-r+1为齐次线性方程组AX＝0的一组解，即方程组AX＝0含有n－r＋1个线性无关的解，矛盾，所以AX＝b的任意n－r＋2个解向量都是线性相关的，所以AX＝b的线性无关的解向量的个数最多为n－r＋1个．
解析
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考研数学二

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