设函数f(x)在(－∞，+∞)内二阶可导，且f’(x)和f’’(x)在(－∞，+∞)内有界．证明：f’(x)在(－∞，+∞)内有界．

admin2018-09-25 96

问题设函数f(x)在(－∞，+∞)内二阶可导，且f’(x)和f’’(x)在(－∞，+∞)内有界．证明：f’(x)在(－∞，+∞)内有界．

选项

答案存在正常数M₀，M₂，使得对任意x∈(－∞，+∞)，恒有｜f(c)｜≤M₀，｜f’’(x)｜≤M₂．由泰勒公式，有f(x+1)=f(c)+f’(x)+[*]f’’(ξ)，其中ξ介于x与x+1之间，整理得 f’(x)=f(x+1)－f(x)－[*]f’’(ξ) 所以 [*] 所以函数f’(x)在(－∞，+∞)内有界．

解析

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考研数学一

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