设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，试证在(0，1)内至少存在一点ξ，使

admin2021-02-25 66

问题设函数f(x)在区间[0，1]上连续，在(0，1)内可导，试证在(0，1)内至少存在一点ξ，使

选项

答案证法1：设[*] F(0)=f(0)，[*] 从而F(x)在[0，1]上满足罗尔定理条件，故至少存在一点ξ∈(0，1)，使f’(ξ)=0，即[*] 证法2：设g(x)=arctanx，在[0，1]上，f(x)和g(x)满足柯西中值定理条件，故至少存在一点ξ∈(0，1)，使 [*]，即 [*]

解析本题仍是证明中值问题．
一种思路是所证结论相当于证明方程

有根，即需证

，左端积分找到辅助函数

，用罗尔定理可证．
另一种思路是将等式变形为

，用柯西中值定理．

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设f(x)在区间[－a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，f(0)=0。证明在[－a，a]上至少存在一点η，使a3f"(η)=3∫－aaf(x)dx。
已知函数f(x)=f(x)。若x→0时，f(x)－a与xk是同阶无穷小量，求常数k的值。
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