(2005年试题，18)已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1一ξ；

admin2013-12-27 43

问题 (2005年试题，18)已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1．证明：
存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1一ξ；

选项

答案设F(x)=f(x)一1+x，因为F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=一1，F(1)=1，即F(0).F(1)<0，由连续函数的零点存在性定理可知[*]ξ∈(0，1)，使得F(ξ)=0，即有，(ξ)=1一ξ．

解析

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考研数学一

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设f(x)为连续函数，且，求f(x)．
适当选取函数ψ(x)，作变量代换y=ψ(x)u，将y关于x的微分方程化为u关于x的二阶常系数齐次线性微分方程，求ψ(x)及常数λ，并求原方程满足y(0)=1，y’(0)=0的特解．
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