2. 考研
  3. 设A为n阶实对称可逆矩阵，f(x1，x2，…，xn)=xixj． (1)记X=(x1，x2，…，xn)T，把二次型f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式； (2)二次型g(X)=XTAX是否与f(x1，x2，…，xn)合同?

设A为n阶实对称可逆矩阵，f(x1，x2，…，xn)=xixj． (1)记X=(x1，x2，…，xn)T，把二次型f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式； (2)二次型g(X)=XTAX是否与f(x1，x2，…，xn)合同?

admin2019-08-28  56
问题 设A为n阶实对称可逆矩阵，f(x1，x2，…，xn)=xixj．
(1)记X=(x1，x2，…，xn)T，把二次型f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式；
(2)二次型g(X)=XTAX是否与f(x1，x2，…，xn)合同?
选项
答案(1)f(X)=(x1，x2，…，xn)[*]A*X， 因为r(A)=n，所以｜A｜≠0，于是[*]A*=A-1，显然A*，A-1都是实对称矩阵． (2)因为A可逆，所以A的n个特征值都不是零，而A与A-1合同，故二次型f(x1，x2，…，xn)与g(X)=XTAX规范合同．
解析
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考研数学三

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