2. 考研
  3. 设c1，c2，…，cn均为非零实常数，A=(aij)n×n为正定矩阵，令bij=aijcicj(i，j=1，2，…，n)，矩阵B=(bij)n×n，证明矩阵B为正定矩阵．

设c1，c2，…，cn均为非零实常数，A=(aij)n×n为正定矩阵，令bij=aijcicj(i，j=1，2，…，n)，矩阵B=(bij)n×n，证明矩阵B为正定矩阵．

admin2018-07-27  82
问题 设c1，c2，…，cn均为非零实常数，A=(aij)n×n为正定矩阵，令bij=aijcicj(i，j=1，2，…，n)，矩阵B=(bij)n×n，证明矩阵B为正定矩阵．
选项
答案令矩阵 [*] 则C可逆，注意用对角矩阵C左(右)乘矩阵A，等于用C的主对角线元素依次乘A的各行(列)，于是有 [*] =CAC=CTAC。 即B与正定阵A合同，故B正定(事实上，[*]x∈Rn，x≠0，由C可逆知Cx≠0，再由A正定知(Cx)TA(Cx)＞0，即xT(CTAC)x=xTBx＞0，故B正定)．
解析
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考研数学三

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