2. 考研
  3. 设向量组α1，α2，α3为R3的一个基，β1=2α1＋2kα3,β22=2α2，β3＝α1＋(k+1)α3． (I)证明向量组β1，β2，β3为R3的一个基； 　(Ⅱ)当k为何值时，存在非零向量ξ在基α1，α2，α3与基β1，β2，β3下的坐标相同

设向量组α1，α2，α3为R3的一个基，β1=2α1＋2kα3,β22=2α2，β3＝α1＋(k+1)α3． (I)证明向量组β1，β2，β3为R3的一个基； 　(Ⅱ)当k为何值时，存在非零向量ξ在基α1，α2，α3与基β1，β2，β3下的坐标相同

admin2021-01-15  6
问题 设向量组α1，α2，α3为R3的一个基，β1=2α1＋2kα3,β22=2α2，β3＝α1＋(k+1)α3．
    (I)证明向量组β1，β2，β3为R3的一个基；
　(Ⅱ)当k为何值时，存在非零向量ξ在基α1，α2，α3与基β1，β2，β3下的坐标相同，并求所有的ξ
选项
答案(I)由于 (β1，β2，β3)＝(2α1＋2kα3，2α2，α1＋(k＋1)α3) ＝（α1，α2，α3)p， 　 其中 [*] 且｜P｜＝4≠0，所以β1，β2，β3为R3的一个基． 　(II)设ξ在基α1，α2，α3与基β1，β2，β3下的坐标向量为x，则 ξ＝(α1，α2，α3)x＝(β1，β2，β3)x＝(α1，α2，α3)Px， 所以 (P—E)x=0． 　 对P—E施以初等行变换 　P—E＝ [*] 所以当k=0时，方程组(P—E)x=0有非零解，且所有非零解为 x＝c[*]，c为任意非零常数 　 故在两个基下坐标相同的所有非零向量为 ξ＝(α1，α2，α3)[*]＝c(α1－α3)，c为任意非零常数．
解析
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考研数学一

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