设f(x)二阶可导，f(0)=0，且f’’(x)＞0．证明：对任意的a＞0，b＞0，有f(a+b)＞f(a)+f(b)．

admin2017-08-31 44

问题设f(x)二阶可导，f(0)=0，且f^’’(x)＞0．证明：对任意的a＞0，b＞0，有f(a+b)＞f(a)+f(b)．

选项

答案不妨设a≤b，由微分中值定理，存在ξ₁∈(0，a)，ξ₂∈(b，a+b)，使得[*] 两式相减得f(a+b)一f(a)一f(b)=[f^’(ξ₂)一f^’(ξ₁)]a．因为f^’’(x)＞0，所以f^’(x)单调增加，而ξ₁＜ξ₂，所以f^’(ξ₁)＜f^’(ξ₂)，故f(a+b)－f(a)一f(b)=[f^’(ξ₂)一f^’(ξ₁)]a＞0，即f(a+b)＞f(a)+f(b)．

解析

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考研数学一

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