2. 考研
  3. 设D0是单连通区域，点M0∈D0，D=D0＼{M0}(即D是单连通区域D0除去一个点M0)，若p(x，y)，Q(x，y)在D有连续的一阶偏导数且((x，y)∈D)，问： (Ⅰ)∫LPdx+Qdy是否一定在D上与路径无关； (Ⅱ)若又存在一条环绕M0的分段光

设D0是单连通区域，点M0∈D0，D=D0＼{M0}(即D是单连通区域D0除去一个点M0)，若p(x，y)，Q(x，y)在D有连续的一阶偏导数且((x，y)∈D)，问： (Ⅰ)∫LPdx+Qdy是否一定在D上与路径无关； (Ⅱ)若又存在一条环绕M0的分段光

admin2016-10-26  111
问题 设D0是单连通区域，点M0∈D0，D=D0＼{M0}(即D是单连通区域D0除去一个点M0)，若p(x，y)，Q(x，y)在D有连续的一阶偏导数且((x，y)∈D)，问：
(Ⅰ)∫LPdx+Qdy是否一定在D上与路径无关；
(Ⅱ)若又存在一条环绕M0的分段光滑闭曲线C0使得∫C0Pdx+Qdy=0，∫LPdx+Qdy)是否一定在D上与路径无关．
选项
答案(Ⅰ)这里D不是单连通区域，所以不能肯定积分∫LPdX+Qdy在D上与路径无关．例如：积分[*]，由于P(x，y)=[*]则 [*] 即在全平面除原点外P(x，y)，Q(x，y)均有连续的一阶偏导数，且[*]． 但若取L为C+即逆时针方向的以原点为圆心的单位圆周，则 [*][－sinθ(cosθ)′+cosθ(sinθ)′]dθ=2π≠0， 因此，该积分不是与路径无关． (Ⅱ)能肯定积分在D上与路径无关．按挖去奇点的思路，我们作以M0为心，ε＞0为半径的圆周Cε，使Cε在C0所围区域内．Cε和Cε所围区域记为Dε(见图10．10)．在Dε上用格林公式得 [*] [*] 其中C0，Cε均是逆时针方向．所以 [*] 因此，ε＞0充分小，只要Cε在C0所围区域内，均有 [*]Pdx+Qdy=0．① 现在我们可证：对D内任意分段光滑闭曲线C，均有 ∮CPdx+Qdy=o． ② 若C不包围M0，在C所围的区域上用格林公式，立即可得②式成立．若C包围M0点，则可作以M0为心，ε＞0为半径的小圆周Cε，使得Cε在C所围区域内且①成立．在C与Cε所围的区域上用格林公式同理可证 ∫CPdx+Qdy=[*]Pdx+Qdy=0．
解析
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考研数学一

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