设α1，α2，α3为两两正交的单位向量，又β≠0且α1，α2，α3，β线性相关，令 (Ⅰ)证明：β可由α1，α2，α3唯一线性表示； (Ⅱ)验证β为矩阵A的特征向量，并求相应的特征值．

admin2021-03-10 117

问题设α₁，α₂，α₃为两两正交的单位向量，又β≠0且α₁，α₂，α₃，β线性相关，
令

(Ⅰ)证明：β可由α₁，α₂，α₃唯一线性表示；
(Ⅱ)验证β为矩阵A的特征向量，并求相应的特征值．

选项

答案(Ⅰ)因为α₁，α₂，α₃为两两正交的单位向量，所以α₁，α₂，α₃线性无关，又因为α₁，α₂，α₃，β线性相关，令β＝k₁α₁＋k₂α₂＋k₃α₃＝l₁α₁＋l₂α₂＋l₃α₃，得(k₁－l₁)α₁＋(k₂－l₂)α₂＋(k₃－l₃)α₃＝0，因为α₁，α₂，α₃线性无关，所以k₁－l₁＝0，k₂－l₂＝0，k₃－l₃＝0，即k₁＝l₁，k₂＝l₂，k₃－l₃，所以β可由α₁，α₂，α₃唯一线性表示． (Ⅱ)设β＝k₁α₁＋k₂α₂＋k₃α₃，即β＝(α₁，α₂，α₃)[*](其中k₁，k₂，k₃唯一)。则Aβ＝（α₁，α₂，α₃）[*] 因为α₁，α₂，α₃两两正交且为单位向量，所以[*](α₁，α₂，α₃)＝E，从而Aβ＝（α₁，α₂，α₃）[*] 于是β是矩阵A的属于特征值1的特征向量．

解析

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考研数学二

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设α1，α2，α3为两两正交的单位向量，又β≠0且α1，α2，α3，β线性相关，令 (Ⅰ)证明：β可由α1，α2，α3唯一线性表示； (Ⅱ)验证β为矩阵A的特征向量，并求相应的特征值．

考研数学二

曲线y=与直线x=0，x=t(t＞0)及y=0围成一曲边梯形。该曲边梯形绕X轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t)，侧面积为S(t)，在x=t处的底面积为F(t)。求S(t)／V(t)的值；

(2012年试题，三)已知函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0及f’(x)+f(x)=2ex求f(x)的表达式；

过点(0，1)作曲线L：y=lnx的切线，切点为A，又L与x轴交于B点，区域D由L与直线AB围成．求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

设函数f(x)在区间[0，1]上具有2阶导数，f(1)＞0，＜0，证明：方程f(x)=0在区间(0，1)至少存在一个实根；

(11)设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且(Ⅰ)求A的所有特征值与特征向量．(Ⅱ)求矩阵A．

设z＝f(x2－y2，exy)，其中f具有连续二阶偏导数，求．

设A为3阶非零矩阵，且满足aij=Aij(i，j=1，2，3)，其中Aij为aij的代数余子式，则下列结论：①A是可逆矩阵；②A是对称矩阵；③A是不可逆矩阵；④A是正交矩阵．其中正确的个数为()

设f(x)在(一∞，+∞)上可导，且对任意x1和x2，当x1＞x2时都有f(x1)＞f(x2)，则()．

设(2E-C-1B)AT=C-1，其中E是4阶单位矩阵，AT是4阶矩阵A的转置矩阵，且求A．

依据标准耐火试验，缝隙探棒可以穿过，即认为丧失完整性。()

常用的麻药是下面哪项不正确

患者，男，36岁，因淋病住院。医嘱：青霉素皮试；0．9％NS250ml+青霉素160万，静脉滴注，biD下列青霉素皮试结果，哪一种情况可以注射青霉素

采矿业处于行业周期的(　　)阶段。

在理财计划的存续期间，商业银行应向客户提供其所持有的相关资产的账单，账单应列明()。

注册会计师在审计应付账款过程中，实施的审计程序对查找未入账应付账款有效的有()。

下列不属于计算机内部采用二进制的好处的一项是______。

Didthemansmokebefore?

WriteonANSWERSHEETTHREEanoteofabout50-60wordsbasedonthefollowingsituation:Youfailedtomeetyourfriend,

设α1，α2，α3为两两正交的单位向量，又β≠0且α1，α2，α3，β线性相关， 令 (Ⅰ)证明：β可由α1，α2，α3唯一线性表示； (Ⅱ)验证β为矩阵A的特征向量，并求相应的特征值．

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曲线y=与直线x=0，x=t(t＞0)及y=0围成一曲边梯形。该曲边梯形绕X轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t)，侧面积为S(t)，在x=t处的底面积为F(t)。求S(t)／V(t)的值；

(2012年试题，三)已知函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0及f’(x)+f(x)=2ex求f(x)的表达式；

过点(0，1)作曲线L：y=lnx的切线，切点为A，又L与x轴交于B点，区域D由L与直线AB围成．求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

设函数f(x)在区间[0，1]上具有2阶导数，f(1)＞0，＜0，证明：方程f(x)=0在区间(0，1)至少存在一个实根；

(11)设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且(Ⅰ)求A的所有特征值与特征向量．(Ⅱ)求矩阵A．

设z＝f(x2－y2，exy)，其中f具有连续二阶偏导数，求．

设A为3阶非零矩阵，且满足aij=Aij(i，j=1，2，3)，其中Aij为aij的代数余子式，则下列结论：①A是可逆矩阵；②A是对称矩阵；③A是不可逆矩阵；④A是正交矩阵．其中正确的个数为()

设f(x)在(一∞，+∞)上可导，且对任意x1和x2，当x1＞x2时都有f(x1)＞f(x2)，则()．

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依据标准耐火试验，缝隙探棒可以穿过，即认为丧失完整性。()

常用的麻药是下面哪项不正确

患者，男，36岁，因淋病住院。医嘱：青霉素皮试；0．9％NS250ml+青霉素160万，静脉滴注，biD下列青霉素皮试结果，哪一种情况可以注射青霉素

采矿业处于行业周期的( )阶段。

在理财计划的存续期间，商业银行应向客户提供其所持有的相关资产的账单，账单应列明()。

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设α1，α2，α3为两两正交的单位向量，又β≠0且α1，α2，α3，β线性相关，令 (Ⅰ)证明：β可由α1，α2，α3唯一线性表示； (Ⅱ)验证β为矩阵A的特征向量，并求相应的特征值．

采矿业处于行业周期的(　　)阶段。