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  3. (2006年)设在上半平面D={(x，y)|y＞0)内，函数f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的t>0都有f(tx，ty)=t-2f(x，y)。证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有

(2006年)设在上半平面D={(x，y)|y＞0)内，函数f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的t>0都有f(tx，ty)=t-2f(x，y)。证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有

admin2021-01-15  21
问题 (2006年)设在上半平面D={(x，y)|y＞0)内，函数f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的t>0都有f(tx，ty)=t-2f(x，y)。证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有
选项
答案f(tx，ty)=t-2f(x，y)两边对t求导得 xf′1(tx，ty)+yf′2(tx，ty)=一2t-3f(x，y)。 令t=1，则 xf′x(x，y)+yf′y(x，y)=一2f(x，y)。 (*) 设P(x，y)=yf(x，y)，Q(x，y)=一xf(x，y)，则 [*] 则由(*)可得 [*] 故由曲线积分与路径无关的定理可知，对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有 [*]
解析
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考研数学一

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