2. 自考
  3. 设n阶方阵A的秩满足r(A+I)+r(A—I)=n，且A≠I(单位方阵)，证明：一1是A的一个特征值．

设n阶方阵A的秩满足r(A+I)+r(A—I)=n，且A≠I(单位方阵)，证明：一1是A的一个特征值．

admin2020-05-06  62
问题 设n阶方阵A的秩满足r(A+I)+r(A—I)=n，且A≠I(单位方阵)，证明：一1是A的一个特征值．
选项
答案由于A≠I，所以A—I不是零矩阵，从而r(A—I)≥1，因此由已知条件r(A+1)≤n一1，A+I是奇异矩阵，｜A+I｜=0，所以齐次线性方程组(A+I)X=0有非零解a，即存在非零向量口使得(A+I)α=0，Aα=0，Aα=一α，所以λ=一1是A的一个特征值．
解析
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