设a＞0，函数f(x)在[0，+∞)上连续有界，证明：微分方程y’+ay=f(x)的解在[0，+∞)上有界．

admin2019-06-28 88

问题设a＞0，函数f(x)在[0，+∞)上连续有界，证明：微分方程y’+ay=f(x)的解在[0，+∞)上有界．

选项

答案原方程的通解为 y(x)=e^一ax[C+∫₀^xf(t)a^atdt]，设f(x)在[0，+∞)上的上界为M，即｜f(x)｜≤M，则当x≥0时，有｜y(x)｜=｜e^一ax[C+∫₀^xf(t)dt]｜ ≤｜Ce^一ax｜+e^一ax｜∫₀^xf(t)e^atdt｜ ≤｜C｜+Me^一ax∫₀^xe^atdt [*] 即y(x)在[0，+∞)上有界．

解析

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考研数学二

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23．证明：若函数φ(x)具有二阶导数，且满足φ(2)＞φ(1)，φ(2)＞∫23φ(x)dx，则至少存在一点ξ∈(1，3)，使得φ’’(ξ)＜0。
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曲线y=lnx上与直线x+y=1垂直的切线方程为__________。
设n元线性方程组Ax=b，其中当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x1；
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设0＜x1＜3，xn+1=(n=1，2，…)，证明：数列{xn}的极限存在，并求此极限。
设非负函数y=y(x)(x≥0)满足微分方程xy"－y’+2=0，当曲线y=y(x)过原点时，其与直线x=1及y=0围成的平面区域D的面积为2，求D绕y轴旋转所得旋转体体积。

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