2. 考研
  3. 设x∈(0，1)，证明不等式： (1)(1+x)ln2(1+x)＜x2；

设x∈(0，1)，证明不等式： (1)(1+x)ln2(1+x)＜x2；

admin2018-09-20  69
问题 设x∈(0，1)，证明不等式：
(1)(1+x)ln2(1+x)＜x2；
选项
答案(1)令φ(x)=x2一(1+x)ln2(1+x)，有φ(0)=0，且 φ’(x)=2x—ln2(1+x)一2ln(1+x)，φ’(0)=0． 当x∈(0，1)时，φ"(x)=[*][x一ln(1+x)]＞0，知φ’(x)单调递增，从而φ’(x)＞φ’(0)=0，知φ(x)单调递增，则φ(x)＞φ(0)=0，即(1+x)ln2(1+x)＜x2． [*] 由(1)得，当x∈(0，1)时，f’(x)＜0，知f(x)单调递减，从而f(x)＞f(1)=[*] 因为 [*] 又当x∈(0，1)时，f(x)单调递减，则[*]，所以 [*]
解析
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考研数学三

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