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设四元齐次线性方程组(1)为 而已知另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为 α1=(2,一1,a+2,1)T,α2=(一1,2,4,a+8)T。 当a为何值时,方程组(1)与(2)有非零公共解?并求出所有非零公共解。
设四元齐次线性方程组(1)为 而已知另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为 α1=(2,一1,a+2,1)T,α2=(一1,2,4,a+8)T。 当a为何值时,方程组(1)与(2)有非零公共解?并求出所有非零公共解。
admin
2018-02-07
87
问题
设四元齐次线性方程组(1)为
而已知另一四元齐次线性方程组(2)的一个基础解系为
α
1
=(2,一1,a+2,1)
T
,α
2
=(一1,2,4,a+8)
T
。
当a为何值时,方程组(1)与(2)有非零公共解?并求出所有非零公共解。
选项
答案
设η是方程组(1)与(2)的非零公共解,则 η=k
1
β
1
+k
2
β
2
=l
1
α
1
+l
2
α
2
,其中k
1
,k
2
与l
1
,l
2
均是不全为0的常数。 由k
1
β
1
+k
2
β
2
—l
1
α
1
一l
2
α
2
=0,得齐次方程组 [*] 对方程组(3)的系数矩阵作初等行变换,有 [*] 当a≠一1时,方程组(3)的系数矩阵变为[*]。可知方程组(3)只有零解,即k
1
=k
2
=l
1
=l
2
=0,于是η=0,不合题意。 当a=一1时,方程组(3)系数矩阵变为[*],解得k
1
=l
1
+4l
2
,k
2
=l
1
+7l
2
。 于是 η=(l
1
+4l
2
)β
1
+(l
1
+7l
2
)β
2
=l
1
α
1
+l
2
α
2
。 所以当a=一1时,方程组(1)与(2)有非零公共解,且公共解是 l
1
(2,一1,1,1)
T
+l
2
(一1,2,4,7)
T
,l
1
,l
2
为任意常数。
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/MTk4777K
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考研数学二
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