(2002年)设函数f(x)在(一∞，+∞)内具有一阶连续导数，L是上半平面(y＞0)内的有向分段光滑曲线，其起点为(a，b)，终点为(c，d)。记 (I)证明曲线积分I与路径L无关； (Ⅱ)当ab=cd时，求I的值。

admin2018-03-11 63

问题 (2002年)设函数f(x)在(一∞，+∞)内具有一阶连续导数，L是上半平面(y＞0)内的有向分段光滑曲线，其起点为(a，b)，终点为(c，d)。记

(I)证明曲线积分I与路径L无关；
(Ⅱ)当ab=cd时，求I的值。

选项

答案(I)记[*] 所以，[*]故在上半平面(y＞0)，该曲线积分与路径无关。 (Ⅱ)方法一：因该曲线积分与路径无关而只与端点有关，所以用折线把两个端点连接起来。先从点(a，b)到点(c，b)，再到点(c，d)。有 [*] 经积分变量替换后，[*]当ab=cd时，推得[*] 方法二：原函数法。 [*] 其中F(u)为f(u)的一个原函数，即设F′(u)=f(u)。由此有[*] 方法三：由于与路径无关，又由ab=cd的启发，取路径xy=k，其中k=ab。点(a，b)与点(c，d)都在此路径上。于是将[*]代入之后， [*]

解析

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考研数学一

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(2002年)设函数f(x)在(一∞，+∞)内具有一阶连续导数，L是上半平面(y＞0)内的有向分段光滑曲线，其起点为(a，b)，终点为(c，d)。记 (I)证明曲线积分I与路径L无关； (Ⅱ)当ab=cd时，求I的值。

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