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  3. 设函数f在x0点的某空心右邻域U+0(x0)有定义．则对任何以x0为极限的递减数列{xn}U+0(x0)，有f(xn)=A．

设函数f在x0点的某空心右邻域U+0(x0)有定义．则对任何以x0为极限的递减数列{xn}U+0(x0)，有f(xn)=A．

admin2022-10-31  43
问题 设函数f在x0点的某空心右邻域U+0(x0)有定义．则对任何以x0为极限的递减数列{xn}U+0(x0)，有f(xn)=A．
选项
答案充分性 设对任何以x0为极限的递减数列{xn}[*]U+0(x0)，有[*]f(xn)=A．现用反证法证明[*]ε0＞0，不论δ(＞0)多么小，总存在一点x’，使得x0＜x’＜x0+δ并且｜f(x’)-A｜＞ε0．取δ=1／n(n=1，2，…)，因此可以取到数列x1，x2，…，xn,…，使之满足x1＞x2＞…＞xn＞…，x0＜xn＜x0+[*]，xn∈U+0(x0)，且｜f(xn)-A｜≥ε0． 显然，{xn)[*]U+0(x0)单调递减，且[*]与题设矛盾．故[*] 必要性 设[*]使得当x0＜x＜x0+δ时，有｜f(x)-A｜＜ε．设递减数列{xn}[*]U+0(x0)，且[*]xn=x0，则对上述δ＞0，[*]N∈N+，s．t．n＞N时，有x0＜xn＜x0+δ．从而当n＞N时有｜f(xn)-A｜＜ε．从而[*]f(xn)=A．
解析
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考研数学二

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