已知连续函数f(x)满足，f(x)-∫0xf(x-t)dt-dudv=x2，其中 D={(u，v)|u2+v2≤x2}(x≥0)，则f(x)=________.

admin2022-12-09 38

问题已知连续函数f(x)满足，f(x)-∫₀^xf(x-t)dt-

dudv=x²，其中
D={(u，v)|u²+v²≤x²}(x≥0)，则f(x)=________.

选项

答案[*]

解析 ∫₀^xf(x-t)dt

∫₀^xf(u)du；

=∫₀^2πdθ∫₀^xrf(x-r)dr=2π∫₀^xrf(x-r)dr

2π(x∫₀^xf(u)du-∫₀^xuf(x)du)，代入得
f(x)-∫₀^xf(u)du-2(x∫₀^xf(u)du-∫₀^xuf(u)du)=x²，
两边求导得
f′(x)-f(x)-2∫₀^xf(u)du=2x，
再求导得
f″(x)-f′(x)-2f(x)=2，
特征方程为λ²-λ-2=0，特征值为λ₁=-1，λ₂=2，
故通解为f(x)=C₁e^-x+C₂e^2x-1，
由f(0)=0，f′(0)=0得

故f(x)=2/3e^-x+1/3e^2x-1．

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