2. 考研
  3. 判断下面定义的变换是否是线性变换： (1)在线性空间V中，Tζ=α，其中α∈V是一固定的向量． (2)在P3中，T(x1，x2，x3)=(2x1一x2，x2+x3，x1)． (3)在P(x)中，Tf(x)=f(x+1)．

判断下面定义的变换是否是线性变换： (1)在线性空间V中，Tζ=α，其中α∈V是一固定的向量． (2)在P3中，T(x1，x2，x3)=(2x1一x2，x2+x3，x1)． (3)在P(x)中，Tf(x)=f(x+1)．

admin2020-09-25  106
问题 判断下面定义的变换是否是线性变换：
  (1)在线性空间V中，Tζ=α，其中α∈V是一固定的向量．
  (2)在P3中，T(x1，x2，x3)=(2x1一x2，x2+x3，x1)．
  (3)在P(x)中，Tf(x)=f(x+1)．
选项
答案(1)当α=0时，任取ζ1，ζ2∈V，则T(ζ1+ζ2)=0，T(ζ1)+T(ζ2)=0+0=0， 所以T(ζ1+ζ2)=Tζ1+Tζ2． 任意k∈R，T(kζ)1=0，kTζ1=k.0=0，所以T(kζ1)=kTζ1． 从而可得当α=0时，Tζ=α是线性变换． 当α≠0时，任取ζ1，ζ2∈V，T(ζ1+ζ2)=α，Tζ1+Tζ2=α+α=2α，但α≠2α，所以T(ζ1+ζ2)≠Tζ1+Tζ2，所以当α≠0时，Tζ=α不是线性变换． (2)任取(x1，x2，x3)，(y1，y2，y3)∈P3，则 T[(x1，x2，x3)+(y1，y2，y3)]=T(x1+y1，x2+y2，x3+y3) =(2(x1+y1)一(x2+y2)，x2+y2+x3+y3，x1+y1) =(2x1—x2+2y1—y2，x2+x3+y2+y3，x1+y1)， T(x1，x2，x3)+T(y1，y2，y3)=(2x1-x2，x2+x3，x1)+(2y1一y2，y2+y3，y1) =(2x1—x2+2y1—y2，x2+x3+y2+y3，x1+y1)， 所以T[(x1，x2，x3)+(y1，y2，y3)]=T(x1，x2，x3)+T(y1，y2，y3)． 任取k∈R，T[k(x1，x2，x3)]=T(kx1，kx2，kx3)=(2kx1一kx2，kx2+kx3，kx1)=k(2x1—x2，x2+x3，x1)=kT(x1，x2，x3)，所以T(x1，x2，x3)=(2x1一x2，x2+x3，x1)是线性变换． (3)任取f(x)，g(x)∈P(x)，则T[f(x)+g(x)]=f(x+1)+g(x+1)=Tf(x)+Tg(x)，任取k∈R，T[kf(x)]=kf(x+1)=kTf(x)．所以Tf(x)=f(x+1)是线性变换．
解析
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考研数学三

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