2. 考研
  3. 求微分方程xdy+(x－2y)dx=0的一个解y=y(x)，使得由曲线y=y(x)与直线x=1，x=2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体的体积最小。

求微分方程xdy+(x－2y)dx=0的一个解y=y(x)，使得由曲线y=y(x)与直线x=1，x=2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体的体积最小。

admin2021-01-19  51
问题 求微分方程xdy+(x－2y)dx=0的一个解y=y(x)，使得由曲线y=y(x)与直线x=1，x=2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体的体积最小。
选项
答案原方程可化为：[*]y=－1。所以 y=e∫2／xdx[∫－e－∫2／xdxdx+C]=x2([*]+C)=x+Cx2。 由曲线方程y=x+Cx2与直线x=1，x=2及x轴所围成的平面图形围绕x轴旋转一周的旋转体体积为V’(C)=∫12π(x+Cx2)2dx=π([*])。 令V’(C)=π([*])=0，得C=－75／124。 又V"’(C)=62／5π＞0，故C=－75／124为唯一极小值点，也是最小值点，于是得 y(x)=x－[*]x2。
解析
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考研数学二

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