2. 考研
  3. 设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)． 二次型f(x1，x2，…，xn)= (1)记X=(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式，并证明二次型f(X)

设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)． 二次型f(x1，x2，…，xn)= (1)记X=(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式，并证明二次型f(X)

admin2018-11-11  69
问题 设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)．
二次型f(x1，x2，…，xn)=
(1)记X=(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式，并证明二次型f(X)的矩阵为A一1；
(2)二次型g(X)=XTAX与f(X)的规范形是否相同？说明理由．
选项
答案(1)f(X)=(x1， x2 ，…，xn)[*] 因秩(A)=n，故A可逆，且A一1=[*]A*，从而(A一1)T=(AT)一1=A一1，故A一1也是实对称矩阵，因此二次型f(X)的矩阵为 [*] (2)因为(A一1)TAA一1= (AT)一1E=A一1，所以A与A一1合同，于是g(X)与f(X)有相同的规范形．
解析
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考研数学二

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