设α，β均为三维单位列向量，并且αTβ=0，若A=ααT+ββT，则必有非零列向量x，使Ax=0，并且A与A相似，写出对角矩阵A．

admin2016-01-11 67

问题设α，β均为三维单位列向量，并且α^Tβ=0，若A=αα^T+ββ^T，则必有非零列向量x，使Ax=0，并且A与A相似，写出对角矩阵A．

选项

答案因为α，β为单位向量，且α^Tβ=0，故[*] 的秩为2，从而有x≠0，使[*] 即α^Tx=0，β^Tx=0，于是有Ax=(αα^T+ββ^T)x=αα^Tx=ββ^Tx=0．又Aα=(αα^T+ββ^T)α=αα^Tα+ββ^Tα=α，Aβ=(αα^T+ββ^T)β=αα^Tβ+ββ^Tβ=β，因此，A的特征值为1，1，0，其对应的特征向量为α，β，x，且α，β，x线性无关，故存在可逆矩阵JP=(α，β，x)，使 [*]

解析本题考查抽象矩阵的特征值与特征向量的求法，特征值与特征向量的性质和矩阵相似对角化的条件．

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考研数学二

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设α，β均为三维单位列向量，并且αTβ=0，若A=ααT+ββT，则必有非零列向量x，使Ax=0，并且A与A相似，写出对角矩阵A．

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设X，Y是两个随机变量，且P{X≤1，Y≤1}=4/9，P{X≤1}=P{Y≤1}=5/9，则P{min(X，Y)≤1}=()．

设A是3阶矩阵，3维非零列向量α不是A的特征向量，且A2α+Aα-2α=0，f(x)=｜xE-A｜，则存在x0∈(-2，1)使得曲线y=f(x)在(x0，f(x0))处的切线垂直于()

设随机变量X的概率密度为f(x)，EX=μ，DX=σ2，(X1，X2，…，Xn)为总体X的简单随机样本，为样本均值，则正确的是()

设方程㏑x=kx只有两个正实根，则k的取值范围为()

设f(x)在[0，1]上有一阶连续导数，且f(0)=0，∫01xf(x)dx=0．证明：方程x[f(x)]2+f’(x)∫0xtf(t)dt=0在(0，1)内至少有两个不同的实根．

某工厂有甲、乙两种产品，产量分别为x，y单位，总成本函数为C(x，y)=x2+2xy+3y2+2，若两种产品的销售价格分别为4与8时，产品能全部售出，则该产品能取得的最大利润为________．

椭圆所围成平面图形的面积是，椭圆所围图形绕x轴旋转一周的立体体积是．

由参数方程组确定的函数y=f(x)的单调区间与极值、凹凸区间与拐点．

设函数f(x)连续且恒大于零，其中Ω(t)={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2}，D(t)={(x，y)｜x2+y2≤t2}．证明：当t＞0时，F(t)＞G(t)．

求球面x2+y2+z2=9与平面y+z=1的交线在坐标面上的投影曲线的方程．

二级反应2A→B，当A的初始浓度为0．200mol/L时半衰期为40s，则该反应的速率常数是()。

根据高血压的诊断标准，成人的正常血压是

腰椎间盘突出多发生于

八脉交会穴中通于阳维脉的腧穴是()

盘盈的固定资产应该通过()科目核算。

公安科研主要是围绕有关公安工作的社会现象进行的研究工作。()

市场上存在羽绒服夏天便宜冬天贵，南方便宜北方贵的现象，造成这种价格变动的主要原因是()。

凡是开庭审理的案件，都应当公开审理。()

有三个关系R、S和T如下：则由关系R和S得到关系T的操作是

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