2. 考研
  3. 设f(x)在区间[－a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，f(0)=0。 证明在[－a，a]上至少存在一点η，使a3f"(η)=3∫－aaf(x)dx。

设f(x)在区间[－a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，f(0)=0。 证明在[－a，a]上至少存在一点η，使a3f"(η)=3∫－aaf(x)dx。

admin2019-08-01  80
问题 设f(x)在区间[－a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，f(0)=0。
证明在[－a，a]上至少存在一点η，使a3f"(η)=3∫－aaf(x)dx。
选项
答案方法一：将f(x)从－a到a积分 ∫－aaf(x)dx=∫－aaf’(0)xdx+1／2∫－aaf"(ξ)x2dx。 而∫－aaf’(0)xdx=f’(0)∫－aaxdx=f’(0)×[*]|－aa=0， 从而有∫－aaf(x)dx=1／2∫－aaf"(ξ)x2dx。 因f"(x)在[－a，a]上连续，故有f"(x)在[－a，a－]上存在最大值M，最小值m(由闭区间上的连续函数必有最大值和最小值)，即 [*] 易得m≤f"(x)≤M，x∈[－a，a]。 因此∫－aaf(x)dx=1／2∫－aaf"(ξ)x2dx≤1／2M∫－aax2dx=1／2Mx3／3|－aa=Ma3／3， 同理∫－aaf(x)dx=1／2∫－aaf"(ξ)x2dx≥1／2m∫－aax2dx=1／3ma3。 因此m≤3／a3∫－aaf(x)dx≤M。 由连续函数介值定理知，存在η∈[－a，a]，使 f"(η)=3／a3∫－aaf(x)dx， 即a3f"(η)=3∫－aaf(x)dx。 方法二：观察要证的式子，构造变限函数：F(x)=∫－xxf(t)dt，易得F(0)=0， F’(x)=f(x)+f(－x)(变限积分求导)， F"(x)=[f(x)+f(－x)]’=f’(x)－f’(－x)， F"’(x)=[f’(x)－f’(－x)]’=f"(x)+f"(－x)， 则有F’(0)－f(0)+f(－0)－0+0=0， F"(0)－f’(0)－f’(－0)=f’(0)－f’(0)=0。 将它展开成二阶带拉格朗日余项麦克劳林公式： F(x)=F(0)+F’(0)x+[*]F"(0)x2+[*]F"’(ξ)x3 =0+0+[*]F"’(ξ)x3=1／6[f"(ξ)+f"(－ξ)]x3， 其中ξ∈(0，x)，x∈[－a，a]。 由于f"(x)在[－a，a]上连续，则由连续函数介值定理，存在η∈[－ξ，ξ]，使 f"(η)=1／2[f"(ξ)+f"(－ξ)]， 于是存在η∈(－a，a)，使 F(x)=0+0+[*]F"’(ξ)x3=[*][f"(ξ)+f"(－ξ)]x3=1／3f"(η)x3， 把x=a代入F(x)有F(a)=1／3f"(η)a3即 ∫－aaf(x)dx=a3／3f"(η)，η∈(－a，a)， 即a3f"(η)=3∫－aaf(x)dx，η∈(－a，a)。
解析
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考研数学二

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