2. 考研
  3. 设A是三阶实对称矩阵，满足A3=2A2+ 5A—6E，且kE +A是正定阵，则k的取值范围是________。

设A是三阶实对称矩阵，满足A3=2A2+ 5A—6E，且kE +A是正定阵，则k的取值范围是________。

admin2020-03-18  61
问题 设A是三阶实对称矩阵，满足A3=2A2+ 5A—6E，且kE +A是正定阵，则k的取值范围是________。
选项
答案k＞2
解析 根据题设条件，则有A3—2A2—5A+6E=0。设A有特征值λ，则λ满足条件λ3—2λ2—5λ+6=0，将其因式分解可得
λ3—2λ2—5λ+6=（λ—1）（λ+2）（λ—3）=0，
因此可知矩阵A的特征值分别为1，—2，3，故kE +A的特征值分别为k+1，k—2，k+3，且当k＞2时，kE +A的特征值均为正数。故k＞2。
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考研数学三

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