2. 考研
  3. 设A为n阶矩阵，α为n维列向量，若存在正整数m，使得Am－1α≠0，Amα=0(规定A0为单位矩阵)，证明：向量组α，Aα1，…，Am－1α线性无关．

设A为n阶矩阵，α为n维列向量，若存在正整数m，使得Am－1α≠0，Amα=0(规定A0为单位矩阵)，证明：向量组α，Aα1，…，Am－1α线性无关．

admin2019-12-26  112
问题 设A为n阶矩阵，α为n维列向量，若存在正整数m，使得Am－1α≠0，Amα=0(规定A0为单位矩阵)，证明：向量组α，Aα1，…，Am－1α线性无关．
选项
答案【证法1】设有一组数k0，k1，…，km－1，使 k0α+k1Aα+…+km-1Am－1α=0， (1) 用Am－1左乘(1)式两边，得 k0Am－1α=0， 又Am－1α≠0，故k0=0．从而(1)式变为 k1Aα+…+km－1Am－1α=0， (2) 再用Am－2左乘(2)式两边得k1Am-1α=0，又Am-1α≠0，故k1=0．以此类推，可得k0=0，k1=0，…，km－1=0，从而α，Aα，…，Am－1α线性无关． 【证法2】 反证法，设α，Aα，…，Am-1α线性相关，则存在一组不全为零的数k0，k1，km-1，使 k0α+k1Aα+…+km-1Am-1α=0， 设从左起第一个不为零的数为ki，上式变为 kiAiα+ki+1Ai+1α+…+km-1Am-1α=0． 由于Amα=0，用Am－i－1左乘等式两边得kiAm－1α=0． 由于ki≠0，则Am－1α=0，矛盾，从而α，Aα，…，Am－1α线性无关．
解析
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考研数学三

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