2. 考研
  3. 设α1，α2，α3都是矩阵A的特征向量，特征值两两不同，记γ=α1+α2+α3． ①证明γ，Aγ，A2γ线性无关，γ，Aγ，A2γ，A3γ线性相关． ②设α1，α2，α3的特征值依次为1，一1，2，记矩阵B=(γ，Aγ，A2γ)，β=A3γ

设α1，α2，α3都是矩阵A的特征向量，特征值两两不同，记γ=α1+α2+α3． ①证明γ，Aγ，A2γ线性无关，γ，Aγ，A2γ，A3γ线性相关． ②设α1，α2，α3的特征值依次为1，一1，2，记矩阵B=(γ，Aγ，A2γ)，β=A3γ

admin2017-11-23  65
问题 设α1，α2，α3都是矩阵A的特征向量，特征值两两不同，记γ=α1+α2+α3．
    ①证明γ，Aγ，A2γ线性无关，γ，Aγ，A2γ，A3γ线性相关．
    ②设α1，α2，α3的特征值依次为1，一1，2，记矩阵B=(γ，Aγ，A2γ)，β=A3γ，求解线性方程组BX=β．
选项
答案(1)设α1，α2，α3 的特征值为a，b，c，由于它们两两不同，α1，α2，α3 线性无关， γ=α1+α2+α3，Aγ=aα1+bα2+cα3， A2γ=a2α1+b2α2+c2α3，A3γ=a3α1+b3α2+c3α3， 则γ，Aγ，A2γ对α1，α2，α3的表示矩阵为 [*] 其行列式为范德蒙行列式，并且(因为a，b，c两两不同)值不为0，于是r(γ，Aγ，A2γ)=r(α1，α2，α3)=3，因此γ，Aγ，A2γ无关． γ，Aγ，A2γ，A3γ可以用α1，α2，α3线性表示，因此线性相关． (2)γ=α1+α2+α3，Aγ=α1一α2+2α3，A2γ=α1+α2+4α3，A3γ=α1一α2+8α3，B=(γ，Aγ，A2γ)=(α1，α2，α3) [*] β=A3γ=(α1，α2，α3) [*] 则BX=β具体写出就是 [*] 由于α1，α2，α3线性无关，它和 [*] 同解．解此方程组得唯一解(一2，1，2)T．
解析
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考研数学一

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