2. 考研
  3. 设p(x)，g(x)与f(x)均为连续函数，f(x)≠0．设y1(x)，y2(x)与y3(x)是二阶线性非齐次方程 y"+p(x)y’+q(x)y=f(x) ① 的3个解，且 ≠常数， 则式①的通解为____________．

设p(x)，g(x)与f(x)均为连续函数，f(x)≠0．设y1(x)，y2(x)与y3(x)是二阶线性非齐次方程 y"+p(x)y’+q(x)y=f(x) ① 的3个解，且 ≠常数， 则式①的通解为____________．

admin2020-03-10  58
问题 设p(x)，g(x)与f(x)均为连续函数，f(x)≠0．设y1(x)，y2(x)与y3(x)是二阶线性非齐次方程
    y"+p(x)y’+q(x)y=f(x)    ①
的3个解，且
    ≠常数，
则式①的通解为____________．
选项
答案y=C1(y1一y2)+C2(y2一y3)+y1，其中C1，C2为任意常数
解析 由线性非齐次方程的两个解，可构造出对应的齐次方程的解，再证明这样所得到的解线性无关便可．
    y1一y2与y2一y3均是式①对应的线性齐次方程
    y"+p(x)y’+q(x)y=0    ②
的两个解．今证它们线性无关．事实上，若它们线性相关，则存在两个不全为零的常数k1与k2使
    l1(y1一y2)+k2(y2一y3)=0．    ③
设k1≠0，又由题设知y2一y3≠0，于是式③可改写为
    =常数，
矛盾．若k1=0，由y2一y3≠0，故由式③推知k2=0矛盾．这些矛盾证得y1一y2与y2一y3线性无关．
    于是
    Y=C1(y1一y2)+C2(y1一y3)    ④
为式②的通解，其中C1，C2为任意常数，从而知
    y=C1(y1一y2)+C2(y2一y3)+y1    ⑤
为式①的通解．
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考研数学二

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