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  3. 设函数f(x)在[0，π]上连续，且 试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0．

设函数f(x)在[0，π]上连续，且 试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0．

admin2019-02-20  106
问题 设函数f(x)在[0，π]上连续，且
            
    试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0．
选项
答案【证法一】 令[*]则有F(0)=0，F(π)=0．又因为 [*] 所以存在ξ∈(0，π)，使F(ξ)sinξ=0，因若不然，则在(0，π)内F(x)sinx恒为正或恒为负，均与[*]矛盾．但当ξ∈(0，π)时sinξ≠0，故F(ξ)=0． 由以上证得，存在满足0＜ξ＜π的ξ，使得 F(0)=F(ξ)=F(π)=0． 再对F(x)在区间[0，ξ]，[ξ，π]上分别用罗尔定理知，至少存在ξ1∈(0，ξ)和ξ2∈(ξ，π)，使 F’(ξ1)=F’(ξ2)=0，即f(ξ1)=f(ξ2)=0． 【证法二】 由[*]知，存在ξ1∈(0，π)，使f(ξ1)=0．因若不然，则在(0，π)内f(x)恒为正或恒为负，均与[*]矛盾． 若在(0，π)内f(x)=0仅有一个实根x=ξ1，则由[*]推知，f(x)在(0，ξ1)内与(ξ1，π)内异号． 不妨设在(0，ξ1)内f(x)＞0，在(ξ1，π)内f(x)＜0，于是再由 [*] 及cosx在[0，π]上的单调性知： [*] 从而推知，在(0，π)内除ξ1外，f(x)=0至少还有另一实根ξ2，故知存在ξ1，ξ2∈(0，π)，ξ1≠ξ2，使得f(ξ1)=f(ξ2)．
解析 令则F(0)=F(π)=0．若由条件能找到另一点ξ∈(0，π)，使F(ξ)=0，再用两次罗尔定理即可．
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考研数学三

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