设A为n阶正定矩阵，n维实的非零列向量ξ1，ξ2，…，ξn，满足ξiTAξi=0(i，j=1，2，…，n；i≠j)．证明：向量组ξ1，ξ2，…，ξn线性无关．

admin2017-07-26 73

问题设A为n阶正定矩阵，n维实的非零列向量ξ₁，ξ₂，…，ξ_n，满足ξ_i^TAξ_i=0(i，j=1，2，…，n；i≠j)．证明：向量组ξ₁，ξ₂，…，ξ_n线性无关．

选项

答案设有一组数x₁，x₂，…，x_n，使得x₁ξ₁+x₂ξ₂+…+x_nξ_n=0，两端左乘ξ₁^TA，得x₁ξ₁^TAξ₁=0，由A正定及ξ₁≠0，得ξ₁^TAξ₁＞0，故x₁=0，同理可得x₂=…=x_n=0，故ξ₁，ξ₂，…，ξ_n线性无关．

解析

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考研数学三

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