(98年)从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系，设仪器在重力的作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用．设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为ρ，仪器所受的

admin2018-07-27 64

问题 (98年)从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系，设仪器在重力的作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用．设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k＞0)．试建立y与v所应满足的微分方程，并求出函数关系式．

选项

答案取沉放点为原点o，oy轴方向铅直向下，则由牛顿第二定律得 [*] 这是y对t的二阶可降阶方程，其中[*]按典型的降阶法 [*] 原式化为 [*] 初始条件为 v|_y=0=0，求出 [*]

解析

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考研数学二

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考研数学二

[*]

求下列各函数的n阶导数(其中，a，m为常数)：(1)y＝ax(2)y＝ln(1＋x)(3)y＝cosx(4)y＝(1＋x)m(5)y＝xex

设奇函数f(x)在闭区间[－1，1]上具有2阶导数，且f(1)＝1．证明(1)存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)＝1；(2)存在η∈(－1，1)，使得f"(η)＋f’(η)＝1．

设f(x)在[0，+∞)上连续，且f(0)>0，设f(x)在[0，x]上的平均值等于f(0)与f(x)的几何平均数，求f(x)．

求微分方程y"+2y’-3y=(2x+1)ex的通解．

设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f"(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且∫abφ(x)dx=1．证明：∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx]．

已知f(x)=是连续函数，求a，b的值．

(2006年)设函数f(u)在(0，＋∞)内具有二阶导数，且z＝f()满足等式(Ⅰ)验证f〞(u)＋＝；(Ⅱ)若f(1)＝0，f′(1)＝1，求函数f(u)的表达式．

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(2004年)设函数f(χ)在(－∞，＋∞)上有定义，在区间[0，2]上，f(χ)＝χ(χ2－4)，若对任意的χ都满足f(χ)＝kf(χ＋2)，其中k为常数．(Ⅰ)写出f(χ)在[－2，0]上的表达式；(Ⅱ)问k为何值时，f(χ)在χ＝

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