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已知函数f(x)在(-∞,+∞)上连续,且f(x)=(x+1)2+2∫0xf(t)dt,则当n≥2时,f(n)(0)=_______。
已知函数f(x)在(-∞,+∞)上连续,且f(x)=(x+1)2+2∫0xf(t)dt,则当n≥2时,f(n)(0)=_______。
admin
2021-01-19
81
问题
已知函数f(x)在(-∞,+∞)上连续,且f(x)=(x+1)
2
+2∫
0
x
f(t)dt,则当n≥2时,f
(n)
(0)=_______。
选项
答案
5.2
n-1
解析
由已知条件得f(0)=1,f’(x)=2(x+1)+2f(x),则f’(0)=4,f"(x)=2+2f’(x),且有f"(0)=10。
在等式f"(x)=2+2f’(x)两边同时对x求n-2阶导可得f
(n)
(x)=2f
(n-1)
(x)。则
f
(n)
(0)=2f
(n-1)
(0)=2
n-2
f"(0)=5.2
n-1
。
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考研数学二
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