已知函数f(x)在(－∞，+∞)上连续，且f(x)=(x+1)2+2∫0xf(t)dt，则当n≥2时，f(n)(0)=_______。

admin2021-01-19 62

问题已知函数f(x)在(－∞，+∞)上连续，且f(x)=(x+1)²+2∫₀^xf(t)dt，则当n≥2时，f⁽ⁿ⁾(0)=_______。

选项

答案5．2^n－1

解析由已知条件得f(0)=1，f’(x)=2(x+1)+2f(x)，则f’(0)=4，f"(x)=2+2f’(x)，且有f"(0)=10。
在等式f"(x)=2+2f’(x)两边同时对x求n－2阶导可得f⁽ⁿ⁾(x)=2f^(n－1)(x)。则
f⁽ⁿ⁾(0)=2f^(n－1)(0)=2^n－2f"(0)=5．2^n－1。

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