设A＝ (Ⅰ)证明：A～B； (Ⅱ)求可逆矩阵P，使得P－1AP＝B．

admin2021-03-18 57

问题设A＝

(Ⅰ)证明：A～B；
(Ⅱ)求可逆矩阵P，使得P^－1AP＝B．

选项

答案(Ⅰ)由｜λE－A｜＝[*]＝(λ＋2)(λ－1)²＝0得 A的特征值为λ₁＝－2，λ₂＝λ₃＝1；由｜μE－B｜＝[*]＝0得 B的特征值为μ₁＝－2，μ₂＝μ₃＝1； E－A＝[*]，由r(E－A)＝1得A可相似对角化； E－B＝[*]，由r(E－B)＝1得B可相似对角化，故A与B相似． (Ⅱ)将λ₁＝－2代入(λE－A)X＝0，由2E＋A＝[*]得 λ₁＝－2对应的线性无关的特征向量为α₁＝[*] 将λ₂＝λ₃＝1代入(λE－A)X＝0，由E－A→[*]得 λ₂＝λ₃＝1对应的线性无关的特征向量为α₂＝[*] 令P₁＝[*]，则P₁^－1AP₁＝[*] 将μ₁＝－2代入(μE－B)X＝0，由2E＋B＝[*] 得 μ₁＝－2对应的线性无关的特征向量为β₁＝[*]；将μ₂＝μ₃＝1代入(μE－B)X＝0，由E－B→[*]得 μ₂＝μ₃＝1对应的线性无关的特征向量为β₂＝[*] 令P₂＝[*]，则P₂^－1BP₂＝[*] 由P₂^－1BP₂＝P₁^－1AP₁得B＝P₂P₁^－1AP₁P₂^－1＝(P₁P₂^－1)^－1A(P₁P₂^－1)，令P＝P₁P₂^－1，则P＝[*] 故P^－1AP＝B．

解析

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考研数学二

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