2. 考研
  3. 如图1-14-2所示，区域D是由曲线y=x3，y=一1，y=1及y轴围成的封闭图形，D1为D位于第一象限的图形，D2为D位于第三象限的图形，则以D为底，以z=x3+y为顶的曲顶柱体体积为( )．

如图1-14-2所示，区域D是由曲线y=x3，y=一1，y=1及y轴围成的封闭图形，D1为D位于第一象限的图形，D2为D位于第三象限的图形，则以D为底，以z=x3+y为顶的曲顶柱体体积为( )．

admin2021-08-02  69
问题
如图1-14-2所示，区域D是由曲线y=x3，y=一1，y=1及y轴围成的封闭图形，D1为D位于第一象限的图形，D2为D位于第三象限的图形，则以D为底，以z=x3+y为顶的曲顶柱体体积为(          )．
选项 A、 
B、 
C、 
D、 
答案D
解析 由二重积分的定义可知当二重积分存在时，它为一个确定的常数，它的值依赖于被积函数f(x,y)与积分区域D，而与积分变量无关，即

由二重积分的几何意义可知，当f(x,y)≥0时，二重积分等于以D为底，以z=f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积，在D2上，z=f(x,y)=x3+y＜0，可知(A)不正确.又由于在D1上，
    z=f(x，y)=x3+y＞0，
可知所给曲顶柱体的体积为

因此(D)正确．
(B)的错误是将y=x3代入被积函数．二重积分中被积函数f(x，y)中(x，y)要取遍D的所有点，而非仅限于D的边界曲线．
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考研数学二

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